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重庆家教:广东省汕头市金山中学2017—2018 学年度第一学期高三期中考试


来源:重庆家教中心 日期:2018/8/22
广东省汕头市金山中学2017—2018 学年度第一学期高三期中考试
理科数学
1. 已知集合, ,则等于( )
A. B. C. D.
2. 已知函数,则的图象相邻两条对称轴之间的距离是( )
A. B. C. D.
3. 已知当≤ 时,不等式恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知: , : ;则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数是偶函数,那么函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6. 函数的大致图象是( )
A. B. C.
D.
7. 已知函数,若存在实数,使得对任意的实数,都有
≤ ≤ 恒成立,则的最小值为( )
 
A. B. C. D.
8. 已知定义在R 上的函数满足,且对任意的实数,都有恒成立,
则的值为( )
A. B. C. D.
9. 在中, ,BC 边上的高等于,则( )
A. B. C. D.
10. 已知函数,将的图象所有点的横坐标伸长为原来的2 倍,纵坐标不变,
再将图像向右平移个单位,得到函数的图像,则的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
11. 定义在内的连续可导函数满足,且对恒成立,则
( )
A. B. C. D.
12. 已知函数,且函数恰有4 个零点,下列选项中哪个集
合内的值均符合题意( )
A. B.
C. D.
13. 若,则的值是__________.
14. 已知点, ,P ,且,则的取值范围是____________.
15. 定义在上的奇函数满足,当时, 则在区间
上的零点个数是__________.
16. 已知函数,如果存在唯一的,使得成立,则实数a 的取值
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范围是__________.
17. 在中,角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,点在边上且, ,求.
18. 设函数.
(1)当时,求的极值;
(2)如果≥ 在上恒成立,求实数的取值范围.
19. 数列满足,且. . . 成等比数列. 设.
(1)求数列的通项公式;(亲,题目没有让亲求数列的通项公式)
(2)设,求数列的前n 项和.
20. 在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线: ,点在直线上移动, 是线段与轴的交
点, 异于点R 的点Q 满足: , .
(1)求动点的轨迹的方程;
(2) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线
的弦. ,设. 的中点分别为.
问直线是否经过某个定点?如果是,求出该定点,
 
如果不是,说明理由.
21. 已知函数, .
(1)求证: , ;
(2)若方程有两个根,设两根分别为,求证: .
22. 在平面直角坐标系中,曲线: ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程
为.
(1)分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设直线交曲线于, 两点,交曲线于, 两点,求线段的长.
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)记的最小值为,若正实数, , 满足,
求证: .
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广东省汕头市金山中学2017—2018 学年度第一学期高三期中考试
理科数学
1. 已知集合, ,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,故选D.
2. 已知函数,则的图象相邻两条对称轴之间的距离是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以周期,故相邻对称轴之间的距离为半周期,故选
B.
3. 已知当≤ 时,不等式恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时,不等式恒成立,所以,又,所以,因此是
增函数,故恒成立,所以,解得,综上,故选B.
4. 已知: , : ;则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析:依题意有,故是充分不必要条件.
考点:充要条件.
5. 已知函数是偶函数,那么函数的定义域为( )
A. B. C. D.
 
6
【答案】B
【解析】因为函数是偶函数,所以,解得,若函数有
意义则,解得,故选B.
6. 函数的大致图象是( )
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】因为,所以函数是奇函数,图象关于原点对称,故排除C;当时,恒有,
故排除D; 时, ,故可排除B;故选A.
7. 已知函数,若存在实数,使得对任意的实数,都有
≤ ≤ 恒成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,所以周期,存在实数,使得对任意的实数,都有
≤ ≤ 恒成立,则,解得: ,故选B.
8. 已知定义在R 上的函数满足,且对任意的实数,都有恒成立,
则的值为( )
 
7
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由知,从而,周期,从而,
当时, ,所以,故选D.
9. 在中, ,BC 边上的高等于,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设△ABC 中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c,AD⊥BC 于D,令∠DAC=θ,如图:
∵在△ABC 中,B= ,BC 边上的高AD=h= ,BC=
∴BD=AD= ,CD=
在Rt△ADC 中, ,故
∴ .
10. 已知函数,将的图象所有点的横坐标伸长为原来的2 倍,纵坐标不变,
再将图像向右平移个单位,得到函数的图像,则的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的图象所有点的横坐标伸长为原来的2 倍,纵坐标不
变,再将图像向右平移个单位,得到函数,当 时,
,所以的一个递增区间是,故选C.
11. 定义在内的连续可导函数满足,且对恒成立,则
 
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令, ,
∵ , 恒成立,
∴ ,
∴函数在上单调递增,∴ .
令,
∵ , 恒成立,
∴ ,
∴函数在上单调递减,
综上可得: ,故选D.
12. 已知函数,且函数恰有4 个零点,下列选项中哪个集
合内的值均符合题意( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】作出的函数图象如图所示:
 
9
令,则由图象可知:当时, 有1 解,
当或时, 有2 解,
当时, 有3 解,
令得,显然是方程的一个解,
而只有一解,故直线直线在上与有1 个交点即可;
(1)若,显然直线与在上有1 个交点,符合题意;
(2)当时,直线与在(﹣∞,1)上的图象相切,且与)在上有1 个交
点,符合题意.所以选A.
13. 若,则的值是__________.
【答案】;
【解析】因为,而,故填.
14. 已知点, ,P ,且,则的取值范围是____________.
【答案】;
【解析】因为, ,
所以
∵ ,∴
 
10
15. 定义在上的奇函数满足,当时, 则在区间
上的零点个数是__________.
【答案】;
【解析】因为,所以,即函数周期
故,又是定义在R 上奇函数,所以,
由周期性知,
令,解得或,所以, 且
故函数f(x)在区间上的零点个数是10,故答案为:10.
16. 已知函数,如果存在唯一的,使得成立,则实数a 的取值
范围是__________.
【答案】
【解析】令,做出图象如图:
存在唯一的,使得成立,即存在唯一的使得,
因为, ,所以只需有唯一满足条件即可.
而,令得,易知
故只需满足解得,
或者当时亦符合条件,此时解不等式组得,综上所述或,
 
11
故填.
17. 在中,角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,点在边上且, ,求.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(1)利用正弦定理化边为角,易得: ,结合
两角和正弦公式得,即,所以;(2)利用余弦定理得: ,
结合的面积,组建c 的方程,解之即可.
试题解析:
(Ⅰ)由及正弦定理,
可得,
即,由可得,
所以,
因为,所以,因为,所以.
(Ⅱ)由得,
又因为,所以的面积,
把,带入得,
所以,解得.
点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角
之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.
第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步:求结果.
 
12
18. 设函数.
(1)当时,求的极值;
(2)如果≥ 在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】有极小值,没有极大值;(2) .
【解析】试题分析:(1)当时,求导令导函数等于零,列表,通过表格找到函数极值即可;(2)
求恒成立问题一般要分离参数,构造函数求其最小值,只需最小值大于零即可求出取值范围.
试题解析:(1)由已知,当时, ,∴ ,
∴ 在上单调递增,且,
, 随变化如下表:
1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
∴ 有极小值,没有极大值.
(2)(方法一)由题可得恒成立,
当时,上式恒成立;
当时, ,又,故
令,则, 令,
∴当时, , 时, ,
∴ ,
∴ ,解得: ,∴ 的取值范围是.
 
13
(方法二)由题可得, 设,则,
∵ ,∴ 在上单调递增, , ,
∴ 使得,则,
由知,且时, , 时, ,
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
∴ 的取值范围是.
(方法三)由题可得恒成立,
令,则,
∴ 时, , 时, ,∴ ,
∴ ,解得: ,∴ 的取值范围是.
19. 数列满足,且. . . 成等比数列. 设.
(1)求数列的通项公式;(亲,题目没有让亲求数列的通项公式)
(2)设,求数列的前n 项和.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(1)根据递推关系式及,考虑,可证明
是等差数列,求其通项公式即可;(2)根据 ,
裂项相消,可求数列前n 项和.
 
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试题解析:(Ⅰ)由及, , , 成等比数列得,
即,解得, ,所以,
所以数列是首项为3,公差为2 的等差数列,所以 .
(Ⅱ)因为
.
.
20. 在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线: ,点在直线上移动, 是线段与轴的交
点, 异于点R 的点Q 满足: , .
(1)求动点的轨迹的方程;
(2) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线
的弦. ,设. 的中点分别为.
问直线是否经过某个定点?如果是,求出该定点,
如果不是,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)以直线恒过定点 .
【解析】试题分析: (1)由已知条件知,点R 是线段FP 的中点,RQ 是线段FP 的垂直平分线,点
15
Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,写出抛物线标准方程.
(2)设出直线AB 的方程,把A、B 坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点M的坐标,同理可得N 的坐
标,求出直线MN 的斜率,得到直线MN 的方程并化简,可看出直线MN 过定点.
试题解析:(Ⅰ)依题意知,直线的方程为: .点是线段的中点,
且⊥ ,∴ 是线段的垂直平分线.
∴ 是点到直线的距离.
∵点在线段的垂直平分线,∴ .
故动点的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线,
其方程为: .
(Ⅱ) 设, ,
由AB⊥CD,且AB、CD 与抛物线均有两个不同的交点,故直线AB、CD 斜率均存在,设直线AB 的方程为
(1)—(2)得,即,
代入方程,解得.所以点M的坐标为.
同理可得: 的坐标为.
直线的斜率为,方程为
,整理得,
显然,不论为何值, 均满足方程,所以直线恒过定点 .
 
16
21. 已知函数, .
(1)求证: , ;
(2)若方程有两个根,设两根分别为,求证: .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析: (1)利用导数和函数的最值得关系即可证明;(2)令,得
,于是有, 通过两式相加减,以及代入计算可得,
再令,问题转化为,利用放缩和基本不等式即可证明.
试题解析:(1)
.
下面证明:对,令,
则,所以在上单调递增,所以,
即,即证得: .
(2)由,得,于是有, ,
两式相加得, ①
两式相减得,即可得,②
将②代入①可得,
即,
不妨设,则,
由(1)可知,
又因为,
,即.
 
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22. 在平面直角坐标系中,曲线: ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程
为.
(1)分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设直线交曲线于, 两点,交曲线于, 两点,求线段的长.
【答案】(Ⅰ)曲线 ,曲线 .(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由 , , ,能求出曲线C1 的极坐标方程,曲线C2 的参数方程消去参数
能求出曲线C2 的普通方程,从而能求出曲线C2 的极坐标方程.
(Ⅱ)联立直线与圆的方程,求交点坐标,计算, 的长,从而根据计
算可得.
试题解析:(Ⅰ)曲线的普通方程为,即,
曲线的极坐标方程为,即.
因为曲线的极坐标方程为,即,
故曲线的直角坐标方程为,即.
(Ⅱ)直线的极坐标方程为,化为直角坐标方程得,
由得或. 则,
由得或则.
故.
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23. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)记的最小值为,若正实数, , 满足,
求证: .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析: (Ⅰ)利用绝对值的意义,写出分段函数,即可求不等式f(x)≤10 的解集;(Ⅱ)利
用绝对值不等式,求出m,再利用柯西不等式进行证明.
试题解析:(Ⅰ)
当时,由,解得;
当时,因为,所以;
当时,由,解得
综上可知,不等式的解集为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 的最小值为6,即.(或者 ),所以,
由柯西不等式可得
因此 .

编辑者:重庆家教重庆家教网)